Polinomio de Newton en Diferencias Finitas

Polinomios de Interpolación con Diferencias de Newton.
Las diferencias de Newton se subdividen en: Diferencias Finitas Divididas Al asumir que los valores de una función f(x) son aproximadamente lineales, dentro de un rango de valores, es equivalente a decir que la razón
es aproximadamente independiente de x0 y x1 en el rango. Esta razón se conoce con el nombre de primera diferencia dividida de f(x), relativa a x1 y x0, y se designa por medio de f[x1 ,x0]. Se puede inferir de la ecuación que f[x1 ,x0] = f[x0 ,x1]. Por tanto, la linearidad aproximada se puede expresar en la forma f[x0 ,x] f[x1 ,x0] lo que nos lleva a la ecuación de interpolación f(x) f(x0)+ (x -x0).f[x0 ,x1] o
o la fórmula equilalente,
Las diferencias divididas de orden 0, 1, 2, …, n se pueden deducir recursivamente por medio de las relaciones siguientes:
Diferencias hacia adelante Suponga que tiene la tabla de valores siguientes: x f(x) 0.0 0.0 0.2 0.4 0.4 1.9
La tabla de diferencias divididas es: x f(x)
0.0 0.0 0.2 0.4
0.5 1.9
y, renumerándo i x f(x)
0 0.0 0.0 1 0.2 0.4 2 2 0.5 1.9 5 6
donde y son la primera y segunda diferencia dividida. Newton establece que se puede generar un polinomio a partir de una tabla de diferencias divididas (como la que se presentó anteriormente). Para ello se utiliza la ecuación
Así que para constrir el polinomio que representa el grupo de datos solo se necesitará los tres primeros términos de la ecuación anterior, quedando así:
lo que resulta en un polinomio de segundo grado. La característica de este polinomio es que se construyó utilizando la numeración del índice i en sentido ascendente o de conteo hacia adelante. Este conteo hacia adelante indica que las diferencias están definidas hacia adelante o más bien, utilizando la terminología de Newton, sería una tabla de diferencias finitas “hacia adelante” de Newton.