Interpolacion de Newton

Interpolacion es, a partir de una serie de puntos, obtener una ecuacion cuya curva pase por todos ellos o lo mas cerca posible.

El metodo de interpolacion de Newton es un poco mas complicado que el de Lagrange, pero como todo lo de Newton, es mas preciso.

Por supuesto que este metodo tiene todo un desarrollo teorico para llegar a la ecuacion general, pero es demasiado largo y para fines practicos lo que sirve al final es solo la forma de realizar el metodo y como aplicarlo.

La ecuación general para este método es la siguiente:

F(x)= b₀ + b₁ (x - x₀) + b₂ (x – x₀) (x – x₁) + …… + bn (x - x₀)(x – xn-₁)

Lo importante de este método o la parte interesante es el cálculo de las b's.

Aqui es donde el metodo toma su nombre de diferencias divididas. Hay distintas formas de hacerlo, pero una de las que mas se recomiendan porque es clara y fácil es la siguiente:

Primero se ponen en 2 columnas acomodados de tal modo que se correspondan todas las x y las f(x) que se desean interpolar.
Después se hacen a su lado tantas columnas como puntos son -1, asi si son 5 puntos se hacen 4 columnas. Asi para el caso de tener 5 puntos

X f(x) f(xi,xi) f(xi,xi,xk) ... ...
x0 f(x0) f(x1,x0) f(x2,x1,x0)
x1 f(x1) f(x2,x1) f(x3,x2,x1,x0)
x2 f(x2) f(x3,x2) f(x3,x2,x1) f(x4,x3,x2,x1,x0)
x3 f(x3) f(x4,x3,x2,x1)
x4 f(x4) f(x4,x3) f(x4,x3,x2)