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viernes, 22 de mayo de 2009

Integracion Numerica

Se puede calcular una integral de diferentes formas la normal la que todos conocemos, la otra puede ser por diferentes metodos como lo son:

-trapecio
-simpson
-Romberg
-Gauss

metodo del trapecio:
sirve de base para desarrollar las integrales(junto con otros metodos parecidos como el de los rectangulos), pero nunca seran exactos, solo se aproximan.
Este metodo consiste en "llenar" el area que se quiere conocer con trapecios




y biseccionar cada parte de la curba en pequeños trapecios de esta forma podemos optenes un asercamiento del area que se encuentra en una curba que puede estar dada por un coseno seno etc.

jueves, 21 de mayo de 2009

Polinomio de Newton en Diferencias Finitas

Polinomios de Interpolación con Diferencias de Newton.
Las diferencias de Newton se subdividen en: Diferencias Finitas Divididas Al asumir que los valores de una función f(x) son aproximadamente lineales, dentro de un rango de valores, es equivalente a decir que la razón
es aproximadamente independiente de x0 y x1 en el rango. Esta razón se conoce con el nombre de primera diferencia dividida de f(x), relativa a x1 y x0, y se designa por medio de f[x1 ,x0]. Se puede inferir de la ecuación que f[x1 ,x0] = f[x0 ,x1]. Por tanto, la linearidad aproximada se puede expresar en la forma f[x0 ,x] f[x1 ,x0] lo que nos lleva a la ecuación de interpolación f(x) f(x0)+ (x -x0).f[x0 ,x1] o
o la fórmula equilalente,
Las diferencias divididas de orden 0, 1, 2, …, n se pueden deducir recursivamente por medio de las relaciones siguientes:
Diferencias hacia adelante Suponga que tiene la tabla de valores siguientes: x f(x) 0.0 0.0 0.2 0.4 0.4 1.9
La tabla de diferencias divididas es: x f(x)
0.0 0.0 0.2 0.4
0.5 1.9
y, renumerándo i x f(x)
0 0.0 0.0 1 0.2 0.4 2 2 0.5 1.9 5 6
donde y son la primera y segunda diferencia dividida. Newton establece que se puede generar un polinomio a partir de una tabla de diferencias divididas (como la que se presentó anteriormente). Para ello se utiliza la ecuación
Así que para constrir el polinomio que representa el grupo de datos solo se necesitará los tres primeros términos de la ecuación anterior, quedando así:
lo que resulta en un polinomio de segundo grado. La característica de este polinomio es que se construyó utilizando la numeración del índice i en sentido ascendente o de conteo hacia adelante. Este conteo hacia adelante indica que las diferencias están definidas hacia adelante o más bien, utilizando la terminología de Newton, sería una tabla de diferencias finitas “hacia adelante” de Newton.

miércoles, 20 de mayo de 2009

Interpolacion de Newton

Interpolacion es, a partir de una serie de puntos, obtener una ecuacion cuya curva pase por todos ellos o lo mas cerca posible.

El metodo de interpolacion de Newton es un poco mas complicado que el de Lagrange, pero como todo lo de Newton, es mas preciso.

Por supuesto que este metodo tiene todo un desarrollo teorico para llegar a la ecuacion general, pero es demasiado largo y para fines practicos lo que sirve al final es solo la forma de realizar el metodo y como aplicarlo.

La ecuación general para este método es la siguiente:

F(x)= b₀ + b₁ (x - x₀) + b₂ (x – x₀) (x – x₁) + …… + bn (x - x₀)(x – xn-₁)

Lo importante de este método o la parte interesante es el cálculo de las b's.

Aqui es donde el metodo toma su nombre de diferencias divididas. Hay distintas formas de hacerlo, pero una de las que mas se recomiendan porque es clara y fácil es la siguiente:

Primero se ponen en 2 columnas acomodados de tal modo que se correspondan todas las x y las f(x) que se desean interpolar.
Después se hacen a su lado tantas columnas como puntos son -1, asi si son 5 puntos se hacen 4 columnas. Asi para el caso de tener 5 puntos

X f(x) f(xi,xi) f(xi,xi,xk) ... ...
x0 f(x0) f(x1,x0) f(x2,x1,x0)
x1 f(x1) f(x2,x1) f(x3,x2,x1,x0)
x2 f(x2) f(x3,x2) f(x3,x2,x1) f(x4,x3,x2,x1,x0)
x3 f(x3) f(x4,x3,x2,x1)
x4 f(x4) f(x4,x3) f(x4,x3,x2)

POLINOMIOS DE LAGRANGE

En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.
Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange
Dado un conjunto de k + 1 puntos

donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal

INTERPOLACION

Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:
(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn) [1]
Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder estudiarla en otros puntos.
Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones más sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor grado que pase por los n+1 puntos dados.
La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos [1] es en principio de grado n: y= anxn+............+a1x+ao
Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas (sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los coeficientes es de Vandermonde y por lo tanto distinto de cero)
Se le llama polinomio interpolador correspondiente a esos puntos. Una vez obtenida su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de la función. Los resultados obtenidos son naturalmente estimaciones aproximadas.
La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen tres.
En este tema nos limitaremos a estos dos tipos de interpolación.
Ejemplo 1. De una función conocemos tres puntos (-3, 5), (1, -1) y (3, 11). ¿qué podemos decir de esa función cuando x=0 y cuando x=10?
Solución
Calculamos el polinomio interpolador que será de 2º grado
y= ax2 + bx +c, que pase por los tres puntos ,
Se verifica:
5=a(-3)2+b(-3)+c por pasar por el punto (-3, 5)
-1=a+b+c por pasar por el punto (1, -1)
11=a.32+b.3+c por pasar por el punto (3, 11)
Resolviendo el sistema que se nos plantea nos queda:
y= P(x)=
Cuando x=0, P(0)=-13/4; si x=10, P(10)=527/4
El primero, una interpolación, es probablemente una buena aproximación del valor de la función desconocida, en el punto 0.
Sin embargo, el valor 527/4 es probable que se parezca poco al valor de la función en el punto 10, pues es el resultado de una extrapolación muy lejana.

viernes, 17 de abril de 2009

Metodo de raices complejas

Este método es usado para polinomios, y los polinomios tienen la curiosidad de que pueden obtener raíces complejas.
Un número complejo es aquel que posee dos números: el primero pertenece a los números reales y otro a los imaginarios.

Para la división de números complejos es necesario multiplicar las dos partes osea arriba y abajo por su conjugado

(a1+b1i)/(a2+b2i)=(a1+b1i)(a2-b2i)/(a2+b2i)(a2-b2i)

se puede usar el método de Newton-Raphson el cual ya fue explicado con anterioridad para encontrar su error utilizamos el modulo el cual es obtenido por la siguiente formula;
|a+ib|=√((a²)+(b²)).

Metodo del punto fijo

Este método sirve para lo mismo pero con la diferencia de que en este método se tiene que despejar una variable un ejemplo de esto es el siguiente (a²)-( eֿª) una opción es la siguiente
a= √(eֿª) y otra forma quedaría de este modo a=-ln(eֿª) de cualquier forma es lo mismo por otro lado se utiliza una tabla que va en el siguiente orden î xn y después la función ya despejada y el error el cual ya hemos explicado cómo se obtiene su valor.