INTERPOLACION

Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:
(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn) [1]
Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder estudiarla en otros puntos.
Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones más sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor grado que pase por los n+1 puntos dados.
La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos [1] es en principio de grado n: y= anxn+............+a1x+ao
Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas (sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los coeficientes es de Vandermonde y por lo tanto distinto de cero)
Se le llama polinomio interpolador correspondiente a esos puntos. Una vez obtenida su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de la función. Los resultados obtenidos son naturalmente estimaciones aproximadas.
La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen tres.
En este tema nos limitaremos a estos dos tipos de interpolación.
Ejemplo 1. De una función conocemos tres puntos (-3, 5), (1, -1) y (3, 11). ¿qué podemos decir de esa función cuando x=0 y cuando x=10?
Solución
Calculamos el polinomio interpolador que será de 2º grado
y= ax2 + bx +c, que pase por los tres puntos ,
Se verifica:
5=a(-3)2+b(-3)+c por pasar por el punto (-3, 5)
-1=a+b+c por pasar por el punto (1, -1)
11=a.32+b.3+c por pasar por el punto (3, 11)
Resolviendo el sistema que se nos plantea nos queda:
y= P(x)=
Cuando x=0, P(0)=-13/4; si x=10, P(10)=527/4
El primero, una interpolación, es probablemente una buena aproximación del valor de la función desconocida, en el punto 0.
Sin embargo, el valor 527/4 es probable que se parezca poco al valor de la función en el punto 10, pues es el resultado de una extrapolación muy lejana.