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viernes, 22 de mayo de 2009
Integracion Numerica
-trapecio
-simpson
-Romberg
-Gauss
metodo del trapecio:
sirve de base para desarrollar las integrales(junto con otros metodos parecidos como el de los rectangulos), pero nunca seran exactos, solo se aproximan.
Este metodo consiste en "llenar" el area que se quiere conocer con trapecios
y biseccionar cada parte de la curba en pequeños trapecios de esta forma podemos optenes un asercamiento del area que se encuentra en una curba que puede estar dada por un coseno seno etc.
jueves, 21 de mayo de 2009
Polinomio de Newton en Diferencias Finitas
Las diferencias de Newton se subdividen en: Diferencias Finitas Divididas Al asumir que los valores de una función f(x) son aproximadamente lineales, dentro de un rango de valores, es equivalente a decir que la razón
es aproximadamente independiente de x0 y x1 en el rango. Esta razón se conoce con el nombre de primera diferencia dividida de f(x), relativa a x1 y x0, y se designa por medio de f[x1 ,x0]. Se puede inferir de la ecuación que f[x1 ,x0] = f[x0 ,x1]. Por tanto, la linearidad aproximada se puede expresar en la forma f[x0 ,x] f[x1 ,x0] lo que nos lleva a la ecuación de interpolación f(x) f(x0)+ (x -x0).f[x0 ,x1] o
o la fórmula equilalente,
Las diferencias divididas de orden 0, 1, 2, …, n se pueden deducir recursivamente por medio de las relaciones siguientes:
Diferencias hacia adelante Suponga que tiene la tabla de valores siguientes: x f(x) 0.0 0.0 0.2 0.4 0.4 1.9
La tabla de diferencias divididas es: x f(x)
0.0 0.0 0.2 0.4
0.5 1.9
y, renumerándo i x f(x)
0 0.0 0.0 1 0.2 0.4 2 2 0.5 1.9 5 6
donde y son la primera y segunda diferencia dividida. Newton establece que se puede generar un polinomio a partir de una tabla de diferencias divididas (como la que se presentó anteriormente). Para ello se utiliza la ecuación
Así que para constrir el polinomio que representa el grupo de datos solo se necesitará los tres primeros términos de la ecuación anterior, quedando así:
lo que resulta en un polinomio de segundo grado. La característica de este polinomio es que se construyó utilizando la numeración del índice i en sentido ascendente o de conteo hacia adelante. Este conteo hacia adelante indica que las diferencias están definidas hacia adelante o más bien, utilizando la terminología de Newton, sería una tabla de diferencias finitas “hacia adelante” de Newton.
miércoles, 20 de mayo de 2009
Interpolacion de Newton
El metodo de interpolacion de Newton es un poco mas complicado que el de Lagrange, pero como todo lo de Newton, es mas preciso.
Por supuesto que este metodo tiene todo un desarrollo teorico para llegar a la ecuacion general, pero es demasiado largo y para fines practicos lo que sirve al final es solo la forma de realizar el metodo y como aplicarlo.
La ecuación general para este método es la siguiente:
F(x)= b₀ + b₁ (x - x₀) + b₂ (x – x₀) (x – x₁) + …… + bn (x - x₀)(x – xn-₁)
Lo importante de este método o la parte interesante es el cálculo de las b's.
Aqui es donde el metodo toma su nombre de diferencias divididas. Hay distintas formas de hacerlo, pero una de las que mas se recomiendan porque es clara y fácil es la siguiente:
Primero se ponen en 2 columnas acomodados de tal modo que se correspondan todas las x y las f(x) que se desean interpolar.
Después se hacen a su lado tantas columnas como puntos son -1, asi si son 5 puntos se hacen 4 columnas. Asi para el caso de tener 5 puntos
X f(x) f(xi,xi) f(xi,xi,xk) ... ...
x0 f(x0) f(x1,x0) f(x2,x1,x0)
x1 f(x1) f(x2,x1) f(x3,x2,x1,x0)
x2 f(x2) f(x3,x2) f(x3,x2,x1) f(x4,x3,x2,x1,x0)
x3 f(x3) f(x4,x3,x2,x1)
x4 f(x4) f(x4,x3) f(x4,x3,x2)
POLINOMIOS DE LAGRANGE
Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange
Dado un conjunto de k + 1 puntos
donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal
INTERPOLACION
(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn) [1]
Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder estudiarla en otros puntos.
Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones más sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor grado que pase por los n+1 puntos dados.
La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos [1] es en principio de grado n: y= anxn+............+a1x+ao
Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas (sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los coeficientes es de Vandermonde y por lo tanto distinto de cero)
Se le llama polinomio interpolador correspondiente a esos puntos. Una vez obtenida su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de la función. Los resultados obtenidos son naturalmente estimaciones aproximadas.
La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen tres.
En este tema nos limitaremos a estos dos tipos de interpolación.
Ejemplo 1. De una función conocemos tres puntos (-3, 5), (1, -1) y (3, 11). ¿qué podemos decir de esa función cuando x=0 y cuando x=10?
Solución
Calculamos el polinomio interpolador que será de 2º grado
y= ax2 + bx +c, que pase por los tres puntos ,
Se verifica:
5=a(-3)2+b(-3)+c por pasar por el punto (-3, 5)
-1=a+b+c por pasar por el punto (1, -1)
11=a.32+b.3+c por pasar por el punto (3, 11)
Resolviendo el sistema que se nos plantea nos queda:
y= P(x)=
Cuando x=0, P(0)=-13/4; si x=10, P(10)=527/4
El primero, una interpolación, es probablemente una buena aproximación del valor de la función desconocida, en el punto 0.
Sin embargo, el valor 527/4 es probable que se parezca poco al valor de la función en el punto 10, pues es el resultado de una extrapolación muy lejana.
viernes, 17 de abril de 2009
Metodo de raices complejas
Un número complejo es aquel que posee dos números: el primero pertenece a los números reales y otro a los imaginarios.
Para la división de números complejos es necesario multiplicar las dos partes osea arriba y abajo por su conjugado
(a1+b1i)/(a2+b2i)=(a1+b1i)(a2-b2i)/(a2+b2i)(a2-b2i)
se puede usar el método de Newton-Raphson el cual ya fue explicado con anterioridad para encontrar su error utilizamos el modulo el cual es obtenido por la siguiente formula;
|a+ib|=√((a²)+(b²)).
Metodo del punto fijo
a= √(eֿª) y otra forma quedaría de este modo a=-ln(eֿª) de cualquier forma es lo mismo por otro lado se utiliza una tabla que va en el siguiente orden î xn y después la función ya despejada y el error el cual ya hemos explicado cómo se obtiene su valor.
jueves, 19 de marzo de 2009
Metodo de la secante
x₀ = Peor
x₁ = Mejor
Para saber cual iteración es la mejor o peor utilizamos esta formula
xn+₁ = xn-(f(x₀)(x₁-x₀))/(f(x₁)-f(x₀)).
Y con esta fórmula podemos encontrar el punto más cercano de esta forma saber que tan cerca estamos del punto buscado.
lunes, 16 de marzo de 2009
Metodo de Newton Raphson
Se utiliza una tabla la cual está hecha por interacciones î luego se utiliza la formula de newton Raphon, se sustituye el valor evaluado en la formula en la función f(x₀) y luego ese mismo valor en la f’ (x₀) y para sacar el error se utiliza la formula Er = |x n₊₁ - xn /xn₊₁|. De esta forma se saca el error del teorema de Newton Raphon y así sabemos que tan cerca estamos del punto de intercepción.
sábado, 7 de marzo de 2009
Porcentaje de error y Metodo de Diseccion
dø/ǿ*100= 1/ǿ(dø/dx₁)dx₁*100+1/ǿ(dø/dx₂)dx₂*100+1/ǿ(dø/dx₃)dx₃*100+……….+1/ǿ(dø/dxⁿ)dxⁿ*100
Esto nos permite obtener un error porcentual que nos sirve de mucho para así saber que error se cometió a la hora de medir.
Error relativo a la cantidad
|dø/ø| se le llama erro relativo en el cálculo de ø esto significa que con más cercana este la serie del numero L. para esto se utiliza el método de bisección este método se basa en cortar una figura en muchas pequeñas partes hasta saber en qué momento la figura es cruzada por la línea que divide a esta en positiva o negativa.
jueves, 5 de marzo de 2009
Teoría de errores.
Siempre existen errores de medición pero para esto se usan formulas matemáticas las cuales nos permiten darnos cuenta de que tan grandes son estos errores tales como las siguientes
A = x y = (xm + Δx) (ym + Δy)
= xm ym + xm Δy + Δx ym + Δx Δy las dos últimas tienden a cero por este motivo es mejor eliminarlas
A – xm ym = xm Δy + ym Δx esta fórmula se utiliza para sacar el error que existe en una medición
Nota: Puede ser un valor positivo o negativo (+/-)
miércoles, 4 de marzo de 2009
Temario de Metodos Numericos
Unidad | Temas | Subtemas |
1 | Teoría de errores. | 1.1 Importancia de los métodos numéricos. 1.2 Conceptos básicos: cifra significativa, precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo. 1.3 Tipos de errores. 1.3.1 Definición de error: error absoluto y relativo. 1.3.2 Error por redondeo. 1.3.3 Error por truncamiento. 1.3.4 Error numérico total. 1.4 Software de cómputo numérico 1.5 Métodos iterativos. |
2 | Métodos de solución de Ecuaciones | 2.1 Métodos de intervalo. 2.2 Método de bisección. 2.3 Método de aproximaciones sucesivas. 2.3.1 Iteración y convergencia de ecuaciones. Condición de Lipschitz. 2.4 Métodos de Interpolación. 2.4.1 Método de Newton Raphson. 2.4.2 Método de la secante. 2.4.3 Método de Aitken. 2.5 Aplicaciones. |
3 | Métodos de solución de sistemas de ecuaciones. | 3.1 Métodos iterativos. 3.1.1 Jacobi. 3.1.2 Gauss – Seidel. 3.2 Sistemas de ecuaciones no lineales. 3.2.1 Método Iterativo secuencial. 3.3 Iteración y convergencia de sistemas de ecuaciones. 3.3.1 Sistemas de ecuaciones de Newton. 3.3.2 Método de Bairstow. 3.4 Aplicaciones. |
4 | Diferenciación e integración numérica | 4.1 Diferenciación numérica. 4.1.1 Fórmula de diferencia progresiva y regresiva. 4.1.2 Fórmula de tres puntos. 4.1.3 Fórmula de cinco puntos. 4.2 Integración numérica. 4.2.1 Método del trapecio. 4.2.2 Métodos de Simpson. 4.2.3 Integración de Romberg. 4.2.4 Método de cuadratura gaussiana. 4.3 Integración múltiple. 4.4 Aplicaciones. |
5 | Solución de ecuaciones diferenciales. | 5.1 Métodos de un paso. 5.1.1 Método de Euler y Euler mejorado. 5.1.2 Método de Runge-Kutta. 5.2 Método de pasos múltiples. 5.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. 5.4 Aplicaciones |
Bibliografias;
Nieves, Jose A. Metodos Numericos Ed. Limesa
Chapocas Metodos Numericos Ed. Preintive-Hall
Burden Metodos Numericos Ed. Megraw-Hill